ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Содержание

• ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема
• § 1. Основные формулы комбинаторики
  Теорема о перемножении шансов. Урны и шарики. Выбор без возвращения, с учётом порядка. Выбор без возвращения и без учёта порядка. Выбор с возвращением и с учётом порядка. Выбор с возвращением и без учёта порядка.
• § 2. Элементарная теория вероятностей
  Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных исходов. Операции над событиями. Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Гипергеометрическое распределение.
• ГЛАВА 2. Геометрическая вероятность
• § 1. Определения и примеры
  Задача о встрече. Задача Бюффона.
  § 2. Существование неизмеримых множеств
• ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей
• § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий
  Алгебра событий. Сигма-алгебра событий. Борелевская -алгебра в .
  § 2. Мера и вероятностная мера
  Мера как неотрицательная -аддитивная функция множеств. Вероятность как нормированная мера.
• ГЛАВА 4. Условная вероятность, независимость
• § 1. Условная вероятность
• § 2. Независимость
• § 3. Формула полной вероятности
• § 4. Формула Байеса
• ГЛАВА 5. Схема Бернулли
• § 1. Распределение числа успехов в испытаниях
• § 2. Номер первого успешного испытания
• § 3. Независимые испытания с несколькими исходами
• § 4. Приближение гипергеометрического распределения биномиальным
• § 5. Теорема Пуассона для схемы Бернулли
• ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения
• § 1. Случайные величины
• § 2. Распределения случайных величин
• § 3. Функция распределения
• § 4. Примеры дискретных распределений
• Вырожденное распределение. Распределение Бернулли. Биномиальное распределение. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона. Гипергеометрическое распределение.
• § 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений
  Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение. Гамма-распределение. Распределение Коши. Распределение Парето.
  § 6. Свойства функций распределения
  Общие свойства функций распределения. Функция распределения дискретного распределения. Свойства абсолютно непрерывного распределения. Функция распределения сингулярного распределения. Функция распределения смешанного распределения.
• § 7. Свойства нормального распределения
• ГЛАВА 7. Преобразования случайных величин
• § 1. Измеримость функций от случайных величин
• § 2. Распределения функций от случайных величин
  Линейные и монотонные преобразования. Квантильное преобразование.
• ГЛАВА 8. Многомерные распределения
• § 1. Совместное распределение
• § 2. Типы многомерных распределений
  Дискретное совместное распределение. Абсолютно непрерывное совместное распределение.
• § 3. Примеры многомерных распределений
  Равномерное распределение. Многомерное нормальное распределение.
• § 4. Роль совместного распределения
• § 5. Независимость случайных величин
• § 6. Функции от двух случайных величин
• § 7. Примеры использования формулы свёртки
• ГЛАВА 9. Числовые характеристики распределений
• § 1. Математическое ожидание случайной величины
• § 2. Свойства математического ожидания
• § 3. Дисперсия и моменты старших порядков
• § 4. Свойства дисперсии
• § 5. Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений
• ГЛАВА 10. Числовые характеристики зависимости
• § 1. Ковариация двух случайных величин
• § 2. Коэффициент корреляции
• § 3. Свойства коэффициента корреляции
• § 4. Примеры
• ГЛАВА 11. Куда и как сходятся последовательности случайных величин
• § 1. Сходимости «почти наверное» и «по вероятности»
• § 2. Неравенства Чебышёва
• § 3. Законы больших чисел
• § 4. Примеры использования ЗБЧ Чебышёва
• ГЛАВА 12. Центральная предельная теорема
• § 1. Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию?
• § 2. Слабая сходимость
• § 3. Центральная предельная теорема
• § 4. Предельная теорема Муавра — Лапласа
• § 5. Примеры использования ЦПТ
• ГЛАВА 13. Характеристические функции
• § 1. Примеры вычисления
• § 2. Свойства характеристических функций
• § 3. Доказательство ЗБЧ Хинчина
• § 4. Доказательство центральной предельной теоремы
• Приложение: минимум и максимум
• Простые и непростые задачи
• Алфавитный указатель